.RU

4. марковские системы обслуживания


4. МАРКОВСКИЕ СИСТЕМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ




4.1. Цепи Маркова


Пусть T – подмножество множества неотрицательных вещественных чисел и пусть – конечное или счетное множество.


Определение 1. Случайный процесс , принимающий значения из множества , называется цепью Маркова (ЦМ), если для любого натурального , любых вещественных , таких что и любых имеет место равенство

(4.1)


В дальнейшем элементы множества будем называть состояниями процесса .

Очевидно, свойство (4.1) означает, что при установленном состоянии процесса в момент времени его дальнейшее поведение не зависит от того, каким образом процесс оказался в этом состоянии (будущее при известном настоящем не зависит от прошлого).

Отметим, что цепи Маркова представляют собой частный случай так называемых марковских процессов.

Процесс (в общем случае многомерный) с множеством состояний , где , называется марковским, если для любого целого , любых состояний , всех , таких что , любого множества состояний и любого справедливо равенство

.

Ясно, таким образом, что ЦМ – это марковский процесс, множество состояний которого конечно или счетно. Понятно также, что можно анализировать многомерные ЦМ. Далее для простоты изложения мы будем говорить об одномерных ЦМ, соответствующие обобщения являются очевидными с точки зрения теории.

В дальнейшем будем считать, что (например, все состояния процесса перенумерованы). Типичным примером такого процесса является процесс , где – число требований, находящихся в системе в момент времени t.

Цепь Маркова называется однородной, если условная вероятность , где , при известных состояниях не зависит от , а зависит только от t.

В частности, для однородной ЦМ имеет место соотношение , где . В дальнейшем мы будем анализировать только однородные ЦМ.

Несколько более общим является понятие однородного марковского процесса: марковский процесс называется однородным, если функция не зависит от t, а зависит только от , х и А.

ЦМ, для которой называется ЦМ с дискретным временем; ЦМ, для которой , называется ЦМ с непрерывным временем.

Введем обозначения , , где ; . Функции называются вероятностями перехода из состояния i в состояние j за время t. Функции представляют собой безусловные вероятности того, что в момент времени t процесс находится в состоянии j. В случае ЦМ с дискретным временем примем обозначения , . Величины называются вероятностями переходов из состояния i в состояние j за n шагов. Вероятность перехода из состояния i в состояние j за один шаг будем называть просто вероятностью перехода из состояния i в состояние j.

Набор вероятностей , где , называется начальным распределением ЦМ.


Определение 2. Цепь Маркова называется эргодичной, если при для всех ее состояний существуют пределы .


Если для всех имеем , то эргодичная ЦМ называется строго эргодичной. Набор чисел {} называется эргодическим распределением ЦМ, вероятности называются конечными (финальными) вероятностями ЦМ.


Определение 3. Вероятностное распределение , где , называется стационарным распределением цепи Маркова, если для любого состояния и любого выполняется равенство .


Если в произвольный момент времени ЦМ характеризуется стационарным распределением, то это означает, что безусловные вероятности ее состояний не зависят от времени; такая ЦМ называется стационарной. В частности, отсюда следует, что для любой стационарной ЦМ начальное распределение является стационарным (т.е. для любого ), поскольку оно удовлетворяет уравнениям, записанным в определении 3.

Эргодическое распределение ЦМ (если оно существует), очевидно, является стационарным, следовательно, его финальные вероятности также определяются системой уравнений, представленных в определении 3. Это означает, что если ЦМ с начальным распределением и переходными вероятностями , , эргодична и характеризуется финальными вероятностями , то существует стационарная ЦМ с такими же переходными вероятностями и начальным распределением .

В некотором смысле, таким образом, поведение эргодичной ЦМ с переходными вероятностями , независимо от ее начального распределения, с течением времени все менее отличается от поведения стационарной ЦМ . Говорят, что в этом случае существует единственное стационарное распределение цепи , совпадающее с ее эргодическим распределением.


Определение 4. Цепь Маркова называется неприводимой, если для любых двух ее состояний существует такое конечное число , что .


Неприводимость ЦМ означает практическую возможность перехода в течение конечного времени из произвольного состояния в произвольное состояние (вероятность такого перехода отлична от нуля).

Ниже рассматриваются различные частные случаи ЦМ.


^ 1. Цепь Маркова с дискретным временем и конечным множеством состояний . Для ЦМ с дискретным временем и конечным множеством состояний имеют место следующие утверждения.


Теорема 1. (Эргодическая теорема Маркова – Бернштейна.) Если существуют такое состояние и такое натуральное число , что для произвольного состояния выполнено неравенство , то цепь Маркова является эргодичной, существует единственное стационарное распределение этой цепи, совпадающее с ее эргодическим распределением. Наоборот, если цепь Маркова эргодична, то существует такое состояние , что для произвольного состояния при достаточно больших выполняется неравенство .


Теорема 2. Если существует целое число , такое что , то цепь Маркова является строго эргодичной. Наоборот, если цепь Маркова строго эргодична, то существует такое целое число , что .


2. Цепь Маркова с дискретным временем и конечным или счетным множеством состояний .

Определение 5. Неприводимая цепь Маркова с дискретным временем называется непериодической, если для некоторого из ее состояний (а вследствие неприводимости и для всех ее состояний) имеет место следующее свойство: наибольший общий делитель всех n, таких что , равен 1.


Теорема 3. (Эргодическая теорема Феллера.) Неприводимая непериодическая цепь Маркова с дискретным временем относится к одному из следующих двух классов:

  1. или все состояния цепи невозвратные (нулевые), т. е. для произвольной пары состояний имеем при , и в таком случае не существует стационарного распределения цепи;


б) или все состояния цепи положительные (эргодические), т. е. при имеем . В таком случае является стационарным распределением цепи и не существует других ее стационарных распределений.

В частности, для произвольного начального распределения цепи существует предел , равный нулю в случае a и равный в случае б.

Можно показать, что из теоремы 3 следует теорема 4.


Теорема 4. (Эргодическая теорема Фостера.) Необходимым и достаточным условием наличия у непериодической цепи Маркова стационарного распределения , такого, что для произвольного состояния (т. е. условием строгой эргодичности цепи), является существование ограниченного ненулевого решения системы уравнений



(т. е. такого решения, что ). В этом случае существует единственное стационарное распределение цепи, с точностью до нормирующего множителя совпадающее с решением , которое совпадает также с ее эргодическим распределением.


Последнее предложение теоремы 4 означает, что стационарным распределением цепи является такое ограниченное ненулевое решение указанной системы уравнений, для которого выполняется условие нормировки .


^ 3. Цепь Маркова с непрерывным временем. ЦМ с непрерывным временем называется стохастически непрерывной, если для произвольных состояний имеем , где – символ Кронекера, определяемый следующим образом:



Можно доказать, что для стохастически непрерывной ЦМ существуют пределы

(4.2)

где .

^ Число называется интенсивностью выхода из состояния i, а – интенсивностью перехода из состояния i в состояние j. Если , состояние i называется мгновенным, в противном случае (, т. е. является конечным числом) состояние i называется немгновенным (или задерживающим). Немгновенное состояние называется поглощающим, если .

Можно доказать, что всегда выполняется неравенство .

^ Немгновенное состояние i называется консервативным, если выполняется равенство . Если для состояния i справедливо строгое неравенство , состояние i называется неконсервативным.

Если все состояния цепи консервативны, то ЦМ называется консервативной.

Если все состояния ЦМ немгновенны, то из соотношения (4.2) следует

; (4.3)

. (4.4)

Если множество состояний конечно, легко доказать, что все состояния цепи немгновенны и консервативны, следовательно, в этом случае ЦМ является консервативной.

Пусть – конечное множество, – малое положительное число. Из формулы полной вероятности следует, что

.

Используя соотношения (4.3) и (4.4), находим


, (4.5)

откуда следует, что

. (4.6)

Из соотношения (4.5) следует, что функция непрерывна по t. Из существования предела при правой части равенства (4.6) следует существование аналогичного предела левой части, т.е. существует производная . Поэтому из равенства (4.6) получаем следующую систему дифференциальных уравнений:

(4.7)

с начальными условиями . Система (4.7) называется системой прямых уравнений Колмогорова.

Снова воспользуемся формулой полной вероятности.



,

откуда аналогичным образом получаем систему уравнений Колмогорова для безусловных вероятностей:

(4.8)

с начальными условиями , где – начальное распределение анализируемой цепи. Заметим, что соотношение (4.8) следует также из формулы (4.7), если обе ее части умножить на и просуммировать по всем .

Приведенные рассуждения справедливы для случая конечного множества , однако они будут не всегда справедливы в том случае, если множество счетно, поскольку в этом случае бесконечная сумма величин не всегда равна . Поэтому в случае счетного множества состояний уравнения Колмогорова имеют место при выполнении некоторых дополнительных условий. Оказывается, что в случае когда множество счетно для справедливости прямых уравнений (4.7) и уравнений для безусловных вероятностей (4.8) достаточно, чтобы ЦМ была стохастически непрерывной консервативной и, кроме того, чтобы сумма была конечна для каждого состояния и каждого .

Определение 6. Цепь Маркова называется регулярной, если число изменения ее состояний на любом конечном промежутке времени конечно с вероятностью 1 независимо от начального состояния цепи.


Можно показать, что достаточным условием регулярности ЦМ является ограниченность интенсивностей выхода , т. е. существование такого числа , что для всех . Оказывается, что справедливость прямых уравнений (4.7) и уравнений для безусловных вероятностей (4.8) для стохастически непрерывной ЦМ следует также из ее регулярности.


Определение 7. Состояние j стохастически непрерывной цепи Маркова называется достижимым из состояния i, если или , или , или существует такая последовательность состояний , что .


Для ЦМ с непрерывным временем справедливо следующее утверждение.


Теорема 5. (Эргодическая теорема Фостера.) Консервативная цепь Маркова с непрерывным временем и счетным множеством состояний эргодична, если она неприводима и система уравнений

,

имеет нетривиальное решение , такое что . В этом случае существует стационарное распределение цепи, с точностью до нормирующего множителя совпадающее с решением , которое совпадает также с ее эргодическим распределением.


Поскольку стационарные вероятности не зависят от времени и являются постоянными величинами, то при производные и стремятся к нулю, поэтому уравнения (4.7) и (4.8) принимают вид , или

. (4.9)

Уравнения (4.9) называются уравнениями равновесия. Они имеют следующий вероятностный смысл. Назовем произведение интенсивности выхода из состояния j и вероятности этого состояния потоком вероятности из состояния j. Произведение назовем потоком вероятности из состояния k в состояние j. Тогда из формулы (4.9) следует, что в стационарном режиме поток вероятности из произвольного состояния уравновешивается суммой потоков вероятности из всех других состояний в данное состояние. Например, для ЦМ с тремя состояниями (рис. 2) получаем следующие уравнения равновесия:

, ,

.

Представлением ЦМ в виде ориентированного графа можно воспользоваться также для быстрого выписывания прямых уравнений Колмогорова и уравнений для безусловных вероятностей.


























Рис. 2. Цепь Маркова, представленная в виде ориентированного графа


^ 4.2. Процессы рождения и гибели


Процессы рождения и гибели играют важную роль в теории массового обслуживания. Например, траектория процесса (число требований, находящихся в системе в момент времени t) возрастает на единицу в момент поступления требования (в случае ординарного входного потока) и уменьшается на единицу в момент окончания обслуживания требования.

Если процесс является при этом ЦМ с непрерывным временем и счетным множеством состояний, то он представляет собой так называемый процесс рождения и гибели.

Процессом рождения и гибели называется однородная ЦМ с непрерывным временем и счетным множеством состояний , для которой из состояния n возможен непосредственный переход только в состояния и , а из состояния 0 - только в состояние 1.

Состояние такого процесса может быть интерпретировано как число особей в некоторой популяции, переход - как рождение особи в популяции из n особей, переход - как гибель особи в популяции, состоящей из n особей. При этом не исключается возможность самозарождения (переход ).

Предположим, что анализируемый процесс рождения и гибели стохастически непрерывен, а все состояния ЦМ консервативны. С целью упрощения записи примем обозначения , . Тогда соотношения (4.3) и (4.4) принимают вид

; (4.10)

; (4.11)

. (4.12)

Будем считать, что .

В соотношениях (4.10)–(4.12) есть с точностью до вероятность рождения новой особи в популяции из n особей за время , а есть с точностью до вероятность гибели особи в такой популяции за время .

Наглядно анализируемый процесс представляется в виде ориентированного графа (рис. 3).















... ...










Рис. 3. Граф состояний процесса рождения и гибели


Из общих условий выполнения прямых уравнений Колмогорова для консервативной ЦМ следует, что в случае процесса рождения и гибели должно выполняться неравенство для каждого состояния . Можно доказать, что для процесса рождения и гибели выполнение прямых уравнений Колмогорова следует также из равенства , имеющего место для всех таких j, что .

При выполнении указанных условий уравнения Колмогорова (4.7) для процесса рождения и гибели принимают вид

,

где ; , . Уравнения Колмогорова для безусловных вероятностей (4.8) выполняются при тех же условиях и принимают вид

.

В случае если величины достаточно быстро возрастают с увеличением k, процесс за конечное время с положительной вероятностью может выйти из фазового пространства и перейти в «бесконечно удаленную точку» (это означает, что особей в популяции будет бесконечно много). Иначе говоря, для конечных t в этом случае имеем , а это означает, что равенство

(4.13)

не выполняется.

Оказывается, что для выполнения равенства (4.13) достаточно, чтобы расходился ряд , т. е.

. (4.14)

Если, наряду с выполнением условия (4.14), выполняется условие

, (4.15)

то процесс эргодичен, существуют финальные вероятности , , и существует единственное стационарное распределение этого процесса, совпадающее с его эргодическим распределением.

Условия (4.14), (4.15) выполняются, например, если существует состояние и такое число (), что для всех состояний выполняется неравенство

. (4.16)

Система уравнений равновесия в этом случае имеет вид

(4.17)

Примем обозначения . Тогда уравнения равновесия (4.17) представляются в виде

,

откуда следует, что для всех , и, следовательно,

,

или

. (4.18)

Поскольку является распределением вероятностей, имеем , откуда следует, что

.


^ 4.3. Общее рассмотрение марковских систем


Пусть – число требований, находящихся в системе в момент времени t (к относятся требования, ожидающие обслуживания, и обслуживаемые в момент времени t). В том случае, если процесс является марковским, соответствующая СМО также называется марковской. В частности, марковскими являются все СМО типа , где .

Действительно, в общем случае (например, для СМО ) распределение числа требований после некоторого момента времени определяется:

1) числом требований, находящихся в системе в момент времени ;

2) моментами поступления требований в систему после момента времени ;

  1. моментами окончания обслуживания требований после момента времени .

Поскольку входной поток требований в системе является простейшим (т. е. обладает свойством отсутствия последействия), моменты поступления требований после момента времени не зависят от поведения системы до момента . Аналогично, поскольку время обслуживания требования распределено экспоненциально, то из свойства отсутствия памяти у экспоненциального распределения следует, что моменты окончания обслуживания требований после момента зависят только от числа требований в системе в момент и не зависят от ее поведения до момента . Следовательно, процесс является марковским с конечным () или счетным ( или ) множеством состояний. Поэтому для нахождения вероятностей , следует решить систему уравнений Колмогорова для безусловных вероятностей с учетом начальных условий.

В случае существования стационарного режима (эргодического распределения) стационарные (финальные) вероятности , , можно определить из уравнений равновесия. В соответствии с тем, что уравнения Колмогорова получаются вероятностным переходом при , описанный метод называется методом .

Если или , то, очевидно, процесс является процессом рождения и гибели, граф состояний которого представлен на рис. 3, а уравнения равновесия имеют вид (4.17). Если со вторым уравнением при сложить первое, получим . Затем, если со вторым уравнением при сложить уравнение, полученное на первом шаге, имеем . Продолжение этого процесса приводит к системе

. (4.19)

Наоборот, из системы (4.19) следует система (4.17).

Вероятностный смысл уравнений (4.19) выясняется с помощью следующей геометрической интерпретации. Проведем на графе, представленном на рис. 3, вертикальное сечение между состояниями и n (пунктирная линия на рис. 4).

Тогда поток вероятности через это сечение с левой стороны в стационарном режиме равен потоку вероятности с правой сто-роны.

В дальнейшем в данном разделе мы будем использовать следующие обозначения: a – параметр (интенсивность) простейшего входного потока требований, – параметр экспоненциального распределения времени обслуживания ( имеет смысл среднего числа требований, обслуживаемых одним прибором, работающим беспрерывно, в течение единицы времени), (в случае ); в случае будем применять обозначение .

















Рис. 4. Пояснение к выводу уравнений равновесия


4.4. Система M/M/n/m, 1 n < , 0 m < 


Для СМО , множество состояний конечно. Поэтому в случае , как следует из теоремы 5, существует единственное стационарное распределение. Граф состояний (граф переходов) показан на рис. 5.

a

a

a






















Рис. 5. Граф состояний СМО


Уравнения Колмогорова для безусловных вероятностей для данной системы имеют следующий вид:

;

;

;

.

Из данной системы уравнений при следуют уравнения для стационарных вероятностей , однако решение стационарной системы уравнений получается проще, если выписать уравнения равновесия, пользуясь соответствующими сечениями на рис. 5.
Имеем


откуда следует, что

;

.

Следовательно, окончательно получаем



Вероятность найдем из условия нормировки , т. е.

,

откуда имеем

.

Математическое ожидание числа требований, находящихся в системе в стационарном режиме, вычисляется следующим образом:

,

где при в смысле сходимости по распределению.

В частном случае (для СМО ) получаем известные формулы Эрланга:

,

где .

Эти формулы, как будет показано в разделе 6, имеют место в случае более общей СМО , для которой , где – момент первого порядка времени обслуживания.

Заметим, что величина в системе играет роль вероятности потери требования.


^ 4.5. Система обслуживания M/M/n/


Граф состояний СМО представлен на рис. 6.


a

a


a




















Рис. 6. Граф состояний СМО


Процесс является в нашем случае процессом рождения и гибели. Если выполняется неравенство , то, как следует из формулы (4.16), существует единственное стационарное распределение процесса . Уравнения равновесия для вертикальных сечений, проведенных в графе на рис. 6, имеют вид



откуда вытекают соотношения, аналогичные полученным в п. 4.4:

(4.20)

Условие нормировки в этом случае имеет вид

,

откуда следует, что

.

Стационарный первый момент числа требований, находящихся в системе, в этом случае вычисляется следующим образом:

.

Заметим, что такие же результаты мы получили бы, если бы перешли к пределу при в соответствующих формулах для СМО , дополнительно предположив, что .

Анализируемая система представляет собой СМО с ожиданием, поэтому для нее имеет смысл определение ФР стационарного времени ожидания W, где при (здесь – время ожидания k-го требования).

Заметим, что полученное распределение числа требований в СМО не зависит от очередности их обслуживания, но подобное утверждение не является, очевидно, справедливым в отношении распределения времени ожидания. Далее будем считать, что очередность обслуживания требований соответствует порядку их поступления в систему (дисциплина FIFO).

ФР представим в виде

, (4.21)

где

, (4.22)

– условная вероятность выполнения неравенства для прибывающего требования при условии, что в момент его поступления в системе находилось k других требований (или, более кратко, система находилась в состоянии k).

Очевидно, для всех и имеем , поскольку в таком случае в момент поступления в системе имеются свободные приборы (точнее, число таких свободных ОП равно ). Поэтому соотношение (4.22) можно представить в виде

, (4.23)

где величины определяются соотношениями (4.20). Введем обозначение . Тогда представляет собой вероятность выполнения неравенства при условии, что в момент поступления требования все ОП заняты, и, кроме того, в системе находится требований, ожидающих обслуживания.

Очевидно поэтому, что, с другой стороны, есть вероятность того, что в течение t единиц времени после поступления требования состоится не более освобождений ОП (или, что то же самое, не более требований будет обслужено).

Пусть , есть вероятность того, что состоялось освобождений ОП за время t при условии, что все ОП в течение этого времени были заняты. Тогда поток освобождений (последовательность моментов времени окончания обслуживания требований), очевидно, является простейшим с параметром . Имеем, следовательно,

,

откуда следует, что

.

Из формулы (4.22) имеем







,

откуда с учетом соотношения (4.21) получаем

.

Очевидно, время пребывания требования V в стационарном режиме равно , где – время обслуживания требования, при этом СВ и независимы. Следовательно, ФР СВ V можем определить следующим образом:

,

где .

Ясно, что для рассматриваемой СМО стационарная вероятность того, что требование не сразу после своего поступления в систему начнет обслуживаться, а будет ожидать обслуживания в очереди, равна

.

Первый момент стационарного времени ожидания равен

.

В свою очередь, первый момент времени пребывания есть

.

Например, в случае (для СМО ) получаем

;

; ;

.

Легко убедиться, что для анализируемой СМО оказываются справедливыми формулы Литтла.


4.6. Система M/M/


В СМО число ОП бесконечно. Поэтому все прибывающие требования обслуживаются без ожидания (время пребывания равно времени обслуживания). Граф состояний такой СМО представлен на рис. 7.

a

a

a






















Рис. 7. Граф состояний СМО


Для достаточно больших k имеем . Тогда, как следует из соотношения (4.16), существует единственное стационарное распределение числа требований, находящихся в системе , которое можно определить из уравнений равновесия

,

откуда следует, что

,

где ,

,

следовательно, окончательно

. (4.24)

Точно такой же результат можно получить с помощью перехода к пределу при в соответствующих соотношениях для СМО .





4-obshee-i-dopolnitelnoe-obrazovanie-ob-ocenke-effektivnosti-deyatelnosti-organov-mestnogo-samoupravleniya-gorodskih.html
4-obshie-polozheniya--41-obshaya-harakteristika-specialnosti-obrazovatelnij-standart-respubliki-belarus.html
4-obshie-polozheniya-mezhgosudarstvennij-sovet-po-standartizacii.html
4-obshie-polozheniya-sostav-i-soderzhanie-otchet.html
4-obshie-trebovaniya-k-razrabotke-osnovnoj-professionalnoj-gosudarstvennij-obrazovatelnij-standart-srednego-professionalnogo.html
4-obsluzhivanie-elektrooborudovaniya-1-naznachenie-i-oblast-primeneniya-4.html
  • tasks.bystrickaya.ru/1ponyatie-socialno-trudovih-otnoshenij-konspekt-lekcij-po-discipline-ekonomika-truda-i-socialno-trudovie-otnosheniya.html
  • school.bystrickaya.ru/27-dekabrya-2011g-kulturno-dosugovie-meropriyatiya-vistavki-koncerti.html
  • znaniya.bystrickaya.ru/rabochaya-programma-po-algebre-v-8-klasse.html
  • laboratornaya.bystrickaya.ru/razdel-1-teoreticheskie-osnovi-i-prakticheskoe-znachenie-nejropsihologii.html
  • spur.bystrickaya.ru/lyubistok-lkarskij.html
  • nauka.bystrickaya.ru/uvazhaemie-iglinci-predstavlyaem-vashemu-vnimaniyu-tradicionnij-otchetnij-doklad-administracii-municipalnogo-rajona-iglinskij-rajon-o-rezultatah-deyatelnosti-za-2-stranica-2.html
  • crib.bystrickaya.ru/grammaticheskaya-kategoriya.html
  • control.bystrickaya.ru/doklad-vasileva-a-v-predsedatelya.html
  • studies.bystrickaya.ru/katalog-izdanij-stranica-2.html
  • esse.bystrickaya.ru/razvitie-palomnicheskogo-i-religiozno-poznavatelnogo-turizma-v-novgorodskoj-oblasti-stranica-2.html
  • uchitel.bystrickaya.ru/protokol-10-zasedaniya-komiteta-soveta-federacii.html
  • laboratornaya.bystrickaya.ru/proizvoditelnogo-stranica-2.html
  • ekzamen.bystrickaya.ru/roman-stranica-5.html
  • testyi.bystrickaya.ru/analiz-analogov-upravlenie-imidzhem-zhenshini-politika-v-usloviyah-sovremennoj-politicheskoj-situacii-v-rossii.html
  • school.bystrickaya.ru/dokazatelstva-evolyucii-zhivoj-prirodi.html
  • uchitel.bystrickaya.ru/razrabotka-metodicheskih-podhodov-kompleksnogo-analiza-innovacionnih-resursov-otraslevih-nauchno-promishlennih-kompleksov-08-00-05-ekonomika-i-upravlenie-narodnim-hozyajstvom-upravlenie-innovaciyami.html
  • literatura.bystrickaya.ru/rukovoditeli-regionov-v-smi-pervij-kanal-novosti-19-09-2008-sharafutdinov-maksim-06-00-07-00-08-00-6.html
  • literatura.bystrickaya.ru/s-a-ohrimenko-g-a-chernej.html
  • exchangerate.bystrickaya.ru/19201923-barishevka-lichnost-v-istorii-kulturi-tematicheskij-d-ajdzhest.html
  • student.bystrickaya.ru/-2-etapi-razvitiya-instituta-advokaturi-v-rossii-zarozhdenie-i-razvitie-advokaturi-v-rossii.html
  • lektsiya.bystrickaya.ru/professionalnaya-deformaciya-rabotnikov-organov-pravoporyadka.html
  • znanie.bystrickaya.ru/aleksandr-isaevich-solzhenicin-rakovij-korpus-rakovij-korpus-chast-pervaya-stranica-9.html
  • tests.bystrickaya.ru/lekciya-vvod-i-redaktirovanie-dannih-vlekcii-izuchayutsya-sposobi-vvoda-i-redaktirovaniya-dannih-v-dokumentah-microsoft-excel-2007-privedeni-osnovnie-pravila-vvoda-dannih.html
  • thesis.bystrickaya.ru/prirodnie-dushistie-veshestva-i-sovremennaya-himiya.html
  • urok.bystrickaya.ru/programma-kandidatskogo-ekzamena-v-aspiranture-po-anglijskomu-yaziku-g-cherepovec.html
  • studies.bystrickaya.ru/evolyuciya-teorij-volnovoj-makrodinamiki-ekonomicheskogo-razvitiya-priroda-ciklov-imperativi-upravleniya-prognoznie-ocenki.html
  • student.bystrickaya.ru/-5-ideya-lichnostnoj-unikalnosti-spirkin-a-g-filosofiya-uchebnik-2-e-izd.html
  • uchenik.bystrickaya.ru/glava-14-altruizm-pomosh-drugim-603-socialnaya-psihologiya.html
  • letter.bystrickaya.ru/neravnodushnim-vzroslim-pomozhet-nasha-shpargalka-dlya-roditelej.html
  • institute.bystrickaya.ru/glava-3-vselennaya-voznikla-iz-nichego-za-prosto-tak-aleksandr-nikonov-apgrejd-obezyani-bolshaya-istoriya-malenkoj.html
  • writing.bystrickaya.ru/audit-zatrat-na-proizvodstvo-i-kalkulirovanie-sebestoimosti-produkcii.html
  • letter.bystrickaya.ru/nuzhno-chtobi-vi-sami-dobili-svoi-znaniya-i-svoimi-sobstvennimi-usiliyami-izmenyali-zhizn-stranica-7.html
  • holiday.bystrickaya.ru/mne-ne-prishlos-menyat-professii-v-poiskah-dela-kotoroe-okazivalos-bi-bolshe-po-dushe-vsya-moya-zhizn-svyazana-s-sovetskim-voenno-morskim-flotom-yasdelal-vibor-stranica-18.html
  • vospitanie.bystrickaya.ru/znaki-agni-jogi-stranica-10.html
  • notebook.bystrickaya.ru/izdatelstvo-gamilton-diletanti-stranica-48.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.